Forma corectă este „până la adânci bătrâneți”.
Bătrâneți este pluralul substantivului bătrânețe și se folosește în expresii cu sens poetic sau figurat.
Exemplu: S-au iubit până la adânci bătrâneți.
Adânci bătrânețe e o combinație greșită – „adânci” este adjectiv de plural, iar „bătrânețe” e la singular, deci nu se potrivesc gramatical.
Așadar, dacă vrei să te exprimi corect și frumos, spune: „până la adânci bătrâneți”.