Corect este "pe de rost."

Explicație:

• "Pe de rost" este o expresie corectă în limba română și se folosește pentru a descrie acțiunea de a recita sau a reproduce din memorie un text, o poezie sau o informație în mod exact și fără ezitare. De exemplu, "A învățat poezia pe de rost."
• "Pe derost" nu este o formă corectă în limba română. Aceasta ar fi o greșeală ortografică sau o formă incorectă a expresiei.

Prin urmare, corect este să folosiți "pe de rost" atunci când doriți să exprimați acțiunea de a reproduce ceva din memorie cu precizie în limba română.