Forma corectă este "mingile".
Cuvântul "mingi" are ca formă de plural "mingi". Când vrem să adăugăm un sufix posesiv sau de alt tip, folosim forma "mingile" (exemplu: "mingile copiilor").
Forma "mingiile" nu este corectă în limba română și nu ar trebui folosită.
Concluzie: Când te referi la pluralul cuvântului "mingi" într-un context posesiv sau similar, forma corectă este "mingile".